Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，，（为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）定义：曲线在点处的切线方程为.若抛物线上存在点（不与原点重合）处的切线交椭圆于、两点，线段的中点为.直线与过点且平行于轴的直线的交点为，证明：点必在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）由得出，再由得出，求出、的值，从而得出椭圆的标准方程；

（2）设点的坐标为，根据中定义得出直线的方程，并设点、，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用中点坐标公式求出点的坐标，得出直线的方程与的方程联立，求出点的坐标，可得出点所在的定直线的方程.

（1）由，可知，即.

，，，可得，联立.

得，则，所以，

所以椭圆的方程为；

（2）设点，则由定义可知，过抛物线上任一点处的切线方程为，所以.

设、，.

联立方程组，消去，得.

由，得，解得.

因为，

所以，从而，

所以，所以直线的方程为.

而过点且平行于轴的直线方程为，

联立方程，解得，所以点在定直线上.