Question

19．求证：f（x）=$\frac{-1}{x}$在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

Answer 1

分析 利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 证明：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{1}{{x}_{1}}$-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∴若x₁＜x₂＜0，则x₁x₂＞0，此时f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此时函数单调递增．
若0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，此时f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此时函数单调递增．
即f（x）=$\frac{-1}{x}$在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性的定义是解决本题的关键．