Question

4．已知f₁（x），f₂（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足f₁（x）+f₂（x）=x²-2+$\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$．
（1）求函数f₁（x）和f₂（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f₁（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）方程法：把方程中的x换成-x，然后利用奇偶性可得另一方程，联立可解得函数f₁（x）和f₂（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f₁（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1]上单调递减，则g′（x）≤0在区间（0，1]上恒成立，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f₁（x），f₂（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
且满足f₁（x）+f₂（x）=x²-2+$\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$．…①
∴f₁（-x）+f₂（-x）=f₁（x）-f₂（x）=x²-2+$\frac{1}{2}（{e}^{-x}-{e}^{x}）$…②，
两式相加得：f₁（x）=x²-2，
两式相减得：f₂（x）=e^x-e^-x，
（2）∵函数g（x）=f₁（x）+2（x+1）+alnx=x²-2+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx在区间（0，1]上单调递减，
∴g′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+a}{x}$≤0在区间（0，1]上恒成立，
即h（x）=2x²+2x+a≤0在区间（0，1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}h（0）=a≤0\\ h（1）=4+a≤0\end{array}\right.$，
解得a∈（-∞，-4]，
故实数a的取值范围为（-∞，-4]．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查函数恒成立问题，考查学生解决问题的能力．