Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的图象如图所示．
（1）求c，d的值；
（2）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，函数y=f（x）与y=$\frac{1}{3}$f′（x）+5x+m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，建立方程，即可求c，d的值；
（2）利用函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，建立方程，即可求出a，b，从而可求函数f（x）的解析式．
（3）求导后得到函数的极值点，求出极大值和极小值利用数形结合的解题思想得到答案．

解答 解：函数f（x）的导函数为f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b…（3分）
（1）由图可知，函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3a+2b+c-3a-2b=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{c=0}\end{array}\right.$．…（7分）
（2）依题意  f′（2）=-3且f（2）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12a+4b-3a-2b=-3}\\{8a+4b-6a-4b+3=5}\end{array}\right.$
解得a=1，b=-6，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3…（12分）
（3）f′（x）=3x²-12x+9．可转化为：x³-6x²+9x+3=（x²-4x+3）+5x+m有三个不等实根，即：g（x）=x³-7x²+8x-m与x轴有三个交点；
g′（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），

x	（-∞，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，4）	4	（4，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

g（$\frac{2}{3}$）=$\frac{68}{27}-m$，g（4）=-16-m．
当且仅当g（$\frac{2}{3}$）=$\frac{68}{27}-m$＞0，且g（4）=-16-m＜0时，有三个交点，故而，-16＜m＜$\frac{68}{27}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的解析式，属于中档题．