Question

【题目】已知，函数，且曲线在处的切线与直线垂直.

（I）求函数在区间上的极大值；

（II）求证：当时，

Answer 1

【答案】(I）极大值； (II)证明见解析

【解析】

（I）先根据条件解出，代入解析式可得，求导分析单调性即可求出极大值. （II）转化得到，对不等式两边分别求最值比较大小.

（I）由题意，得直线的斜率为，

即曲线在处的切线的斜率为，函数的导数，

所以，解得

所以 ，

，所以，当时，；

当 时， ；当 时， ；

所以函数 在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在区间上有唯一的极大值

（Ⅱ）由题得，即证明 ，

设，得 ，

当时，，所以函数在区间上单调递增，

当时，，所以函数在区间 上单调递减，

所以当 时，取最大值 ，

再令 ，则 ，

所以