题目内容
【题目】已知
是圆锥的高，
是圆锥底面的直径，
是底面圆周上一点，
是
的中点，平面
和平面
将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
（1）求证：平面
平面；
（2）若
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连结
，易证
，
，从而可证明
平面
，进而可证明平面
平面
；
（2）先证明
，
，
两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的方法求得二面角
的余弦值即可.
（1）连结，则
，
又因为
是
的中点，所以.
因为
是圆锥的高，所以
平面
，
平面，所以，
又
，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）由已知可得
，
所以
为正三角形，
.
又因为
，所以
，所以
.
于是分别以，，为
轴，
轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
.
则
，
，
.
设平面
的法向量为
，
由
得：
.
令
，得
，
，
即
.
设平面的法向量为
，
由
得：
，
令
，得
，
，即
.
设二面角的大小为
，由图可知，
，则
.
故所求二面角的余弦值为.
智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
【题目】某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．
分组 | 频数 |
[55，65） | 2 |
[65，75） | 4 |
[75，85） | 10 |
[85，95] | 4 |
合计 | 20 |
第一车间样本频数分布表
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；
（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【题目】某企业为了检查生产
产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品.下表是甲流水线样本的频数分布表，下图是乙流水线样本的频率分布直方图.
甲流水线样本的频数分布表
质量指标值 | 频数 |
| 9 |
| 10 |
| 17 |
| 8 |
| 6 |
乙流水线样本的频率分布直方图
（1）根据图形，估计乙流水线生产的产品的该项质量指标值的中位数；
（2）设该企业生产一件合格品获利100元，生产一件不合格品亏损50元，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了1000件产品，若将频率视为概率，则该企业本月的利润约为多少元？
