题目内容

17.在数列{an}中,已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n∈N*
(Ⅰ)求证:数列{1g(1+an)}是等比数列;
(Ⅱ)设${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$,求数列{bn}的前n项和Sn

分析 (Ⅰ)通过将点(a1,an+1)代入函数方程f(x)=x2+2x,变形可得an+1+1=$({a}_{n}+1)^{2}$,两边取对数并化简可得$\frac{lg(1+{a}_{n+1})}{lg(1+{a}_{n})}$=2,即得结论;
(Ⅱ)通过(I)知lg(1+an)=$lg{3}^{{2}^{n-1}}$,通过an+1=${{a}_{n}}^{2}$+2an可得$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$,利用并项法相加得Sn=2($\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$),进而可得结论.

解答 (Ⅰ)证明:由已知an+1=${{a}_{n}}^{2}$+2an
∴an+1+1=$({a}_{n}+1)^{2}$,
∵a1=2,∴an+1>1,
两边取对数得lg(an+1+1)=lg$({a}_{n}+1)^{2}$=2lg(1+an),
即$\frac{lg(1+{a}_{n+1})}{lg(1+{a}_{n})}$=2,
∴数列{1g(1+an)}是公比为2的等比数列;
(Ⅱ)解:由(I)知lg(1+an)=2n-1•lg(1+a1)=2n-1•lg3=$lg{3}^{{2}^{n-1}}$,
∴1+an=${3}^{{2}^{n-1}}$,∴an=${3}^{{2}^{n-1}}$-1,
∵an+1=${{a}_{n}}^{2}$+2an
∴an+1=an(an+2),
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2($\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2}$),
∴$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$,
∴${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$=2($\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$),
∴Sn=b1+b2+…+bn
=2($\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$)
=2($\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$),
∵an=${3}^{{2}^{n-1}}$-1,a1=2,an+1=${3}^{{2}^{n}}$-1,
∴Sn=1-$\frac{2}{{3}^{{2}^{n}}-1}$.

点评 本题考查等比数列的判定及求数列的和,对表达式的灵活变形及并项相加是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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