Question

7．在△ABC中，AC=3，∠A=$\frac{π}{4}$，点D满足$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$，且AD=$\sqrt{13}$，则BC的长为3．

Answer 1

分析 由已知，结合向量的基本运算可求得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC

解答 解：∵$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$
∵AD=|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{13}$，AC=|$\overrightarrow{AC}$|=3，A=$\frac{π}{4}$，设AB=c
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cosA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}c$
则13=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）^{2}$=$\frac{1}{9}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
∴13=1$+\frac{4{c}^{2}}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{3}c$
整理可得，2c²$+3\sqrt{2}c$-54=0
∵c＞0
解可得，c=3$\sqrt{2}$
由余弦定理可得，a²=c²+b²-2bc•cosA
=$（3\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}-2×3×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题主要考查了解三角形的简单应用，解题中要注意结合向量知识，要灵活的运用基本公式