题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程和函数
的极值;
(Ⅱ)若对任意的,
,都有
成立,求实数
的最小值.
【答案】(Ⅰ)切线方程为;函数
在
时,取得极小值
,函数
没有极大值;(Ⅱ)
的最小值为1.
【解析】【试题分析】(1)运用导数的几何意义及导数与函数的单调性之间的关系求解;(2)依据题设运用导数的知识和分类整合思想分类分析探求:
(Ⅰ)因为,所以
,
又,所以曲线
在
处的切线方程为
.
令,解得
,
及
的变化情况如下表:
2 | |||
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以函数在
时,取得极小值
,函数
没有极大值.
(Ⅱ)由题设知,当时,
;
当时,
,
若,令
,则
,
由于,显然不符合题设要求.
若,对
,
由于,
显然,当时,对
,不等式
恒成立.
综上可知, 的最小值为1.
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