题目内容
【题目】设是公差为
的等差数列,
是公比为
的等比数列. 记
.
(1)求证: 数列为等比数列;
(2)已知数列的前
项分别为
.
①求数列和
的通项公式;
②是否存在元素均为正整数的集合,使得数列
等差数列?证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2)①;②不存在满足题意的集合
.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用等比数列的定义推证;(2)借助题设运用等差数列及分析推证法探求.
试题解析:
(1)证明:
依题意,,
从而, 又
,所以
是首项为
,公比为
的等比数列 .
(2)① 由(1)得,等比数列的前
项为
, 则
,解得
, 从而
, 且
, 解得
,所以
.
②假设存在满足题意的集合,不妨设
, 且
等差数列, 则
, 因为
, 所以
① 若
, 则
,结合①得,
, 则
, 化简得,
, ② 因为
, 不难知
,这与②矛盾,所以只能
,同理
, 所以
为数列
的连续三项,从而
,即
,又
.故
,又
,故
, 这与
矛盾,所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合
.
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