Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴．

（1）求椭圆的方程；

（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

试题分析：(1)因为轴,所以点代入方程得:,又,可得方程；(2)设切点为,因为,对求导,,所以切线斜率为,所以切线方程为:,与椭圆联立,写出韦达定理,可求出的中点坐标,进而写出中垂线的方程,得到点坐标,根据的坐标写出用表示,利用基本不等式放缩即可求得最小值,注意验证取等条件.

试题解析：解：（1）点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，

，将点坐标代入椭圆方程可得．

又，联立可解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）设切点坐标为，，则．

整理，得，

．

设，，

联立直线方程和椭圆方程可得，

的中点坐标为，

的垂直平分线方程为，令，得．

即，．

，，

当且仅当时取得等号．

直线的斜率的最小值为．