Question

13．一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A-BCD（如图2）．
（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；
（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质，可得EF∥AC，即可证明EF∥平面ACD；
（2）若平面ABC⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABC，CD⊥AB，因为AB⊥AC，所以AB⊥平面ACD，即可证明：平面ABD⊥平面ACD．

解答 证明：（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．   …（2分）
又EF?平面ACD，AC?平面ACD，所以EF∥平面ACD．    …（6分）
（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
CD?平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．         …（8分）
因为AB?平面ABC，所以CD⊥AB．                    …（10分）
又因为AB⊥AC，AC∩CD=C，AC?平面ACD，CD?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD．                               …（12分）
又AB?平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．         …（14分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．