Question

【题目】已知a为正的常数，函数f（x）=|ax﹣x2|+lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设g（x）= ，求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（e≈2.71828为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2时，f（x）=|ax﹣x2|+lnx= ，

当0＜x＜2时，f′（x）= ，

令f′（x）＞0时，解得0＜x≤ ，

当x≥2时，f′（x）= ，

令f′（x）＞0时，解得x≥2，

故函数的单调增区间是（0， ]，[2，+∞）

（2）解：g（x）=|x﹣a|+ = ，

当a≥e时，则g（x）=a﹣x+ ，g′（x）=﹣1﹣ + = ，

令h（x）=﹣x2+1﹣lnx，则h′（x）=﹣2x﹣ ＜0

∴h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0．

∴g（x）在[1，e]上为减函数，得g（x）min=g（e）=a﹣e+ ；

当a≤1时，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1﹣lnx≥0，x2+1﹣lnx≥0，∴g′（x）＞0．

∴g（x）在[1，e]上为增函数，

∴g（x）min=g（1）=1﹣a．

当1＜a＜e时，g（x）在[1，a]上减，[a，e]上增，

g（x）min=g（a）=

综上所述：

【解析】（1）把a=2代入函数解析式，由绝对值内的代数式等于0求得x的值，由解得的x的值把定义域分段，去绝对值后求导，利用导函数求每一段内的函数的增区间，则a=2时的函数的增区间可求；（2）把f（x）的解析式代入g（x）= ，利用a与1和e的大小比较去绝对值，然后求出去绝对值后的函数的导函数，利用函数的单调性求出函数在区间[1，e]上的最小值．最后把求得的函数的最小值写成分段函数的形式即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．