Question

【题目】如图①，在正方形的各边上分别取四点，使，将正方形沿对角线折起，如图②

（1）证明：图②中为矩形；

（2）当二面角为多大时，为正方形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当二面角A-BD-C为时，四边形EFGH为正方形

【解析】

（1）根据对应边成比例可得EF∥BD，HG∥BD，从而可得EF∥HG，即四边形EFGH为平行四边形，设O为BD的中点，连接AO，CO，BD，利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AOC，从而可得BD⊥AC，进而可得EF⊥EH，即证.

（2）设AB=a，可得，由题意只需使EH=HG，根据比例可得，由∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，AO=CO=AC，即可求得二面角A-BD-C为600.

（1）因为AE：EB=AF：FD，所以EF∥BD，

同理可得，HG∥BD，所以EF∥HG；

同理可得EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形，

设O为BD的中点，连接AO，CO，BD，

BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，故BD⊥AC，

又因为BD∥EF，AC∥EH，所以EF⊥EH

所以EFGH为矩形

（2）设AB=a

则，

要使四边形EFGH为正方形，只需使EH=HG

，

由（1）可知∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，且AO=CO=AC，

所以，当二面角A-BD-C为600时，四边形EFGH为正方形