Question

5．已知f（x）=x+$\frac{b}{x}$在（1，e）上为单调函数，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]∪[e²，+∞）
• B． （-∞，0]∪[e²，+∞）
• C． （-∞，e²]
• D． [1，e²]

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解．

解答 解：若b≤0，
则函数在（0，+∞）上为增函数，满足条件，
若b＞0，
则函数的导数f′（x）=1-$\frac{b}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{b}$或x＜-$\sqrt{b}$，此时单调递增，
由f′（x）＜0得-$\sqrt{b}$＜x＜$\sqrt{b}$，此时单调递减，
若函数f（x）在（1，e）上为单调增函数，则$\sqrt{b}$≤1，即0＜b≤1，
若函数f（x）在（1，e）上为单调递减函数，若$\sqrt{b}$≥e，即b≥e²，
综上b≤1或b≥e²，
故选：A

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．注意要使用分类讨论的思想．