Question

20．两边靠墙的角落有一个区域，边界线正好是椭圆轨迹的部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上．
（1）根据所给条件，求出椭圆的标准方程；
（2）求长方形面积S与边长x的函数关系式；
（3）求当边长x为多少时，面积S有最大值，并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，a=2，b=1，可得椭圆的标准方程；
（2）由椭圆的标准方程，可得y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，即可求长方形面积S与边长x的函数关系式；
（3）设x=2cosα，y=sinα，S=xy=sin2α，即可求出面积S最大值及x．

解答 解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由椭圆的标准方程，可得y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，
∴S=x•$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（0＜x＜2），
（3）设x=2cosα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），y=sinα，S=xy=sin2α，
∴α=45°时，面积S有最大值1，此时x=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查椭圆方程的运用，考查学生可以熟悉知识解决实际问题的能力，确定椭圆的方程是关键．