Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（4＞b＞0）的一个焦点为F，点A的坐标为（0，$\frac{b}{2}$），AF的延长线交椭圆C于点B，且F是AB的中点，则原点O到直线AF的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{39}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{39}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用中点坐标公式求出B的坐标，代入椭圆方程，求出c，b，可得直线AF的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

解答 解：设F（c，0），则
∵F是AB的中点，
∴B（2c，-$\frac{b}{2}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得$\frac{4{c}^{2}}{16}$+$\frac{1}{4}$=1，∴c=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{16-3}$=$\sqrt{13}$，
∴直线AF的方程为$\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{y}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=1$，
∴原点O到直线AF的距离为$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{4}{13}}}$=$\frac{\sqrt{39}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查点到直线的距离公式，求得b，c是关键．