题目内容
【题目】2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在
内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
（1）完成下面的
列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在
内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在
或
内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为
（单位：元），求
的分布列和数学期望.
附：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【答案】(1) 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析
【解析】试题分析：（1）根据直观图以及表格中所给数据，可完成列联表；根据列联表，利用公式
可得
，与临界值比较可得结果；（2）根据图
和表
可知，利用古典概型概率公式可得设备改造前产品为合格品的概率约为
，设备改造后产品为合格品的概率约为
，比较合格率的大小即可得结果；（3）随机变量
的取值为： 
， 
， 
， 
， 
，根据独立事件的概率公式计算出各随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.
试题解析：（1）根据图3和表1得到
列联表：
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | 172 | 192 | 364 |
不合格品 | 28 | 8 | 36 |
合计 | 200 | 200 | 400 |
将
列联表中的数据代入公式计算得：
.
∵
，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
（2）根据图
和表
可知，设备改造前产品为合格品的概率约为
，设备改造后产品为合格品的概率约为
；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.
（3）由表1知：
一等品的频率为
，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为
；
二等品的频率为
，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为
；
三等品的频率为
，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为
.
由已知得：随机变量
的取值为： 
， 
， 
， 
， 
.
，
，
，
，
.
∴随机变量
的分布列为：
| 240 | 300 | 360 | 420 | 480 |
|
|
|
|
|
|
∴
.
