题目内容
【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,
,上顶点为
,过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
,且
,过
,
三点的圆恰好与直线
相切.
求椭圆
的方程;
过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点,问在
轴上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)存在,
.
【解析】
设点
的坐标为
,且
,利用
以及
得出点
的坐标,利用外接圆圆心
到该直线的距离等于半径,可求出
的值,进而得出
与
的值,从而得出椭圆
的方程;
令
,得出
,设点
、
,将直线l的方程与椭圆
的方程联立,利用韦达定理,求出线段
的中点
的坐标,将条件“以
为邻边的平行四边形是菱形”转化为
,得出这两条直线的斜率之积为
,然后得出
的表达式,利用不等式的性质可求出实数
的取值范围.
设椭圆C的焦距为
,则点
的坐标为
,点
的坐标为
,设点Q的坐标为
,且
,
如下图所示,
,
,
,则
,所以,
,则点Q的坐标为
,
直线
与直线AQ垂直,且点
,所以,
,
,
由,得
,则
,
.
为直角三角形,且
为斜边,
线段的中点为
,
的外接圆半径为2c.
由题意可知,点到直线
的距离为
,
所以,,
,
,
因此,椭圆C的方程为.
由题意知,直线
的斜率
,并设
,则直线l的方程为
,
设点、
将直线的方程与椭圆C的方程联立
,
消去x得,
由韦达定理得,
.
,
.
所以,线段MN的中点为点.
由于以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,则,则
,所以,
.
由两点连线的斜率公式可得,得
.
由于,则
,所以,
,所以,
.
因此,在x轴上存在点,使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,
且实数m的取值范围是.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制的频率分布直方图如图所示.规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
参考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |