【题目】在中，以线段为边作，使得，连接，再以为边作，使得，．

（）如图1，连结，求证：．

（）如图2，时，将线段沿着射线的方向平移，得到线段，连接，．

①若，依题意补全图2，求线段的长．

②请直接写出线段的长（用含的式子表示）．

【题目】对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫，两点间的“平面距离”，记作．

（）已知为坐标原点，动点是坐标轴上的点，满足，请写出点的坐标．答：__________．

（）设是平面上一点，是直线上的动点，我们定义的最小值叫做到直线的“平面距离”．试求点到直线的“平面距离”．

（）在上面的定义基础上，我们可以定义平面上一条直线与⊙的“直角距离”：在直线与⊙上各自任取一点，此两点之间的“平面距离”的最小值称为直线与⊙的“平面距离”，记作．

试求直线与圆心在直线坐标系原点、半径是的⊙的直角距离__________．（直接写出答案）

（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；

（2）若两人抽取的数字差的绝对值等于1，则甲获胜；若抽取的数字差的绝对值大于1，则乙获胜。这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释。

【题目】某学校计划从商店购进两种商品，购买一个商品比购买一个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等.

（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；

（2）根据学校实际情况，该学校需要购买种商品的个数是购买种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个种商品？

(1)求证：△ABD≌△ECB；

(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．

在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：直线与直线外一点．求作：过点作直线的平行线．

已知：直线与直线外一点．求作：过点作直线的平行线．

小明的作法如下：

如图，

①在直线上任取两点，；

②以点为圆心，线段的长为半径作圆弧；

以点为圆心，线段的长为半径作圆弧；

两圆弧（与点在同侧）的交点为；

③过点，作直线．

所以直线即为所求．

如图，

①在直线上任取两点，；

②以点为圆心，线段的长为半径作圆弧；

以点为圆心，线段的长为半径作圆弧；

两圆弧（与点在同侧）的交点为；

③过点，作直线．

所以直线即为所求．

老师说：“小明的作法正确．”

请回答：（）利用尺规作图完成小明的做法（保留作图痕迹）；

（）该作图的依据是__________．

【题目】小峰和同学探究一个问题:圆上的一点(不与已知直径端点重合)到圆直径两端点的距离与直径的数量关系.如图1，他们以为直径作了一个圆，圆心为，在圆上取了三个不与点重合的三点，连接.

(1)通过观察，可猜想都是 三角形.请用图2中的来请证明你的猜想并写出与的数量关系.

(2)如图3，若且比少，求圆的直径的长.

(3)如图4，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿直径往点运动，当运动到点时停止在 (2)的条件下，当 秒时 ，是等腰三角形.

【题目】如图1，将一块含有角的三角板放置在一条直线上，边与直线重合，边的垂直平分线与边分别交于两点，连接.

(1) 是 三角形；

(2)直线上有一动点(不与点重合) ，连接并把绕点顺时针旋转到，连接.当点在图2所示的位置时，证明.我们可以用来证明，从而得到.当点移动到图3所示的位置时，结论是否依然成立?若成立，请你写出证明过程;若不成立，请你说明理由.

(3)当点在边上移动时(不与点重合)，周长的最小值是 .

甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；

乙：跳绳次数不少于105次的同学占96％；

丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；

丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15。

根据这四名同学提供的材料，下面有四个推断：

①这次跳绳测试共抽取了150人；②该年级跳绳次数的中位数在115～125之间

③第4组的人数为45人 ④如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次调查结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数可以超过250人，其中合理的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个