Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．

（1）求证：FD∥AC；

（2）试判断FD与⊙O的位置关系，并简要说明理由；

（3）若AB=10，AC=8，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）FD是⊙O的切线，理由见解析；（3）DF．

【解析】

（1）因为∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，所以∠CAB=∠BFD，即可得出FD∥AC；

（2）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；

（3）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．

解：

（1）∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，

∴∠CAB=∠BFD，

∴FD∥AC，

（2）∵∠AEO=90°，FD∥AC，

∴∠FDO=90°，

∴FD是⊙O的一条切线

（3）∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，

∴AE=EC=4，AO=5，

∴EO=3，

∵AE∥FD，

∴△AEO∽△FDO，

∴，

∴，

解得：DF．