Question

【题目】已知直线y＝mx+n（m≠0，且m，n为常数）与双曲线y＝（k＜0）在第一象限交于A，B两点，C，D是该双曲线另一支上两点，且A、B、C、D四点按顺时针顺序排列．

（1）如图，若m＝﹣，n＝，点B的纵坐标为，

①求k的值；

②作线段CD，使CD∥AB且CD＝AB，并简述作法；

（2）若四边形ABCD为矩形，A的坐标为（1，5），

①求m，n的值；

②点P（a，b）是双曲线y＝第一象限上一动点，当S△APC≥24时，则a的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①k= 5；②见解析，由此AO交双曲线于点C，延长BO交双曲线于点D，线段CD即为所求；（2）①；②0＜a＜1或a＞5

【解析】

（1）①求出直线的解析式，利用待定系数法即可解决问题；②如图，由此AO交双曲线于点C，延长BO交双曲线于点D，线段CD即为所求；

（2）①求出A，B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；②分两种情形求出△PAC的面积＝24时a的值，即可判断．

（1）①∵，，

∴直线的解析式为，

∵点B在直线上，纵坐标为，

∴，

解得x＝2

∴，

∴；

②如下图，由此AO交双曲线于点C，延长BO交双曲线于点D，线段CD即为所求；

（2）①∵点在上，

∴k＝5，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴A，B关于直线y＝x对称，

∴，

则有：，解得；

②如下图，当点P在点A的右侧时，作点C关于y轴的对称点C′，连接AC，AC′，PC，PC′，PA．

∵A，C关于原点对称，，

∴，

∵，

当时，

∴，

∴，

∴a＝5或(舍弃)，

当点P在点A的左侧时，同法可得a＝1，

∴满足条件的a的范围为或．