题目内容

【题目】综合与探究:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,过点B作线段BCx轴,交直线y=﹣2x于点C.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标,判定点B′是否在抛物线上,并说明理由;

(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段B′C于点D,是否存在这样的点P,使四边形PBCD是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣+x+(2)点B′在该抛物线上.(3)当点P运动到(2,)时,四边形PBCD是平行四边形.

【解析】

试题分析:(1)将点A、B的坐标代入抛物线的解析式,得到关于b、c的二元一次方程组,从而可解得b、c的值;

(2)过点B′作B′Ex轴于E,BB′与OC交于点F.由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2,将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标点B和B′关于直线y=﹣2x对称,在RtABC中,由勾股定理可求得OC=5,然后利用面积法可求得BF=2.由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4.由同角的余角相等可证明B′BE=BCF,从而可证明RtB′EBRtOBC,由相似三角形的性质可求得B′E=4,BE=8,故此可求得点B′的坐标为(﹣3,﹣4),然后可判断出点B′在抛物线上;

(3)先根据题意画出图形,然后利用待定系数法求得B′C的解析式,设点P的坐标为(x,﹣+x+),则点D为(x,﹣),由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时.四边形PBCD是平行四边形,最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标

解:(1)y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,

解得:

抛物线的解析式为y=﹣+x+

(2)如图,过点B′作B′Ex轴于E,BB′与OC交于点F.

BCx轴,

点C的横坐标为5.

点C在直线y=﹣2x上,

C(5,﹣10).

点B和B′关于直线y=﹣2x对称,

B′F=BF

在RtABC中,由勾股定理可知:OC===5

SOBC=OCBF=OBBC,

5×BF=5×10.

BF=2

BB′=4

∵∠B′BE+B′BC=90°BCF+B′BC=90°

∴∠B′BE=BCF

∵∠B′EB=OBC=90°

RtB′EBRtOBC

,即

B′E=4,BE=8.

OE=BE﹣OB=3.

点B′的坐标为(﹣3,﹣4).

当x=﹣3时,y=﹣×(﹣3)2+=﹣4.

所以,点B′在该抛物线上.

(3)存在.

理由:如图所示:

设直线B′C的解析式为y=kx+b,则,解得:

直线B′C的解析式为y=

设点P的坐标为(x,﹣+x+),则点D为(x,﹣).

PDBC

要使四边形PBCD是平行四边形,只需PD=BC.又点D在点P的下方,

﹣(﹣)=10..

解得x1=2,x2=5(不合题意,舍去).

当x=2时,=

当点P运动到(2,)时,四边形PBCD是平行四边形.

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