题目内容
【题目】综合与探究:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,过点B作线段BC⊥x轴,交直线y=﹣2x于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标,判定点B′是否在抛物线上,并说明理由;
(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段B′C于点D,是否存在这样的点P,使四边形PBCD是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣+x+.(2)点B′在该抛物线上.(3)当点P运动到(2,)时,四边形PBCD是平行四边形.
【解析】
试题分析:(1)将点A、B的坐标代入抛物线的解析式,得到关于b、c的二元一次方程组,从而可解得b、c的值;
(2)过点B′作B′E⊥x轴于E,BB′与OC交于点F.由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2,将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称,在Rt△ABC中,由勾股定理可求得OC=5,然后利用面积法可求得BF=2.由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4.由同角的余角相等可证明∠B′BE=∠BCF,从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC,由相似三角形的性质可求得B′E=4,BE=8,故此可求得点B′的坐标为(﹣3,﹣4),然后可判断出点B′在抛物线上;
(3)先根据题意画出图形,然后利用待定系数法求得B′C的解析式,设点P的坐标为(x,﹣+x+),则点D为(x,﹣),由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时.四边形PBCD是平行四边形,最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标
解:(1)∵y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,
∴.
解得:.
∴抛物线的解析式为y=﹣+x+.
(2)如图,过点B′作B′E⊥x轴于E,BB′与OC交于点F.
∵BC⊥x轴,
∴点C的横坐标为5.
∵点C在直线y=﹣2x上,
∴C(5,﹣10).
∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称,
∴B′F=BF.
在Rt△ABC中,由勾股定理可知:OC===5.
∵S△OBC=OCBF=OBBC,
∴5×BF=5×10.
∴BF=2.
∴BB′=4.
∵∠B′BE+∠B′BC=90°,∠BCF+∠B′BC=90°,
∴∠B′BE=∠BCF.
又∵∠B′EB=∠OBC=90°,
∴Rt△B′EB∽Rt△OBC.
∴,即.
∴B′E=4,BE=8.
∴OE=BE﹣OB=3.
∴点B′的坐标为(﹣3,﹣4).
当x=﹣3时,y=﹣×(﹣3)2+=﹣4.
所以,点B′在该抛物线上.
(3)存在.
理由:如图所示:
设直线B′C的解析式为y=kx+b,则,解得:
∴直线B′C的解析式为y=.
设点P的坐标为(x,﹣+x+),则点D为(x,﹣).
∵PD∥BC,
∴要使四边形PBCD是平行四边形,只需PD=BC.又点D在点P的下方,
∴﹣(﹣)=10..
解得x1=2,x2=5(不合题意,舍去).
当x=2时,=.
∴当点P运动到(2,)时,四边形PBCD是平行四边形.