Question

如图，△ABC有一个内接平行四边形DEFG，△ABC的高AM=80cm，底BC=120cm．
（1）设DE与AM相交于点N，MN=x，请用含x的式子表示DE的长及?DEFG的面积．
（2）当x为何值时，?DEFG的面积取最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）先根据AM=80cm，AM⊥BC，MN=x得出AN=AM-MN=80-x，再由四边形DEFG是平行四边形得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出DE的长，再由平行四边形的面积公式可得出?DEFG的面积表达式；
（2）根据（1）中?DEFG的面积表达式可得出结论．

解答：解：（1）∵MN=x，AM⊥BC，MN=x，
∴AN=AM-MN=80-x，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥GF，

∴△ADE∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DE

BC

，即

80-x

80

=

DE

120

，

∴DE=120-

3

2

x；
∴S_?DEFG=DE•MN=（120-

3

2

x）•x=-

3

2

x²+120x；


（2）∵由（1）知S_?DEFG=-

3

2

x²+120x，
∴当x=-

b

2a

=-

120

2×(- 3 2 )

=40cm时，?DEFG的面积取最大值．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到平行四边形的性质及二次函数的最值问题，难度适中．