Question

已知直线l与x轴、y轴分别交于A（2，0）、B（0，2）两点，双曲线y=

k

x

（k＞0）在第一象限的一支与AB不相交，过双曲线上一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，分别交AB于E、F．
（1）如果S_△EOF=

5

6

，PM=

3

2

，求双曲线的解析式；
（2）当P在（1）中双曲线上移动，∠EOF的大小始终为45°不变，此时，双曲线上存在这样的点P，使OE=OF，求出此时点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先用待定系数法求出直线l的解析式，设出E点坐标，再根据S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE即可得出E点坐标，进而得出P点坐标，把P点坐标代入双曲线y=

k

x

即可得出结论；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，因为OB=OA，故BD=AD，当OE=OF时可得DE=DF，故可得出BF=AE，再根据△BNF与△AME均是等腰直角三角形可知BN=NF=ME=AM，故ON=OM，即四边形NOMP是正方形，设P（x，x），代入（1）中反比例函数的解析式即可得出x的值，进而得出结论．

解答：解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（2，0）、B（0，2），
∴

2k+b=0 b=2

，解得

k=-1 b=2

，
∴此直线的解析式为y=-x+2，
∵点E在直线l上，
∴设E（a，-a+2），
∵S_△EOF=

5

6

，PM=

3

2

，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE=

1

2

OA•PM-

1

2

OA•ME
=

1

2

×2×

3

2

-

1

2

×2×（-a+2）
=

3

2

+a-2=

5

6

，
解得a=

4

3

，
∴E（

4

3

，

2

3

），
∴P（

4

3

，

3

2

），
∵点P在双曲线y=

k

x

上，
∴k=

4

3

×

3

2

=2，
∴抛物线的解析式为：y=

2

x

；

（2）如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB=OA，
∴BD=AD，
∴当OE=OF时DE=DF，
∴BF=AE，
∵△BNF与△AME均是等腰直角三角形，
∴BN=NF=ME=AM，
∴ON=OM，即四边形NOMP是正方形，
设P（x，x），则x=

2

x

，解得x=

2

或x=-

2

（舍去），
∴P（

2

，

2

）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、等腰三角形的性质等知识，难度适中．