Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，，直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6，0），N（0， ），等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．

（1）等边△ABC的边长为_______；

（2）在运动过程中，当t=_______时，MN垂直平分AB；

（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．

①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；

②当点P在线段AC上运动时，设，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）3；（3）①t=1或或；②S= ，当t=时，△PEF的面积最大，最大值为，此时P（3， ）．

【解析】试题分析：（1）根据，∠OMN=30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．

（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB=3，由此即可解决问题；

（3）①如图1中，由题意BP=2t，BM=6﹣t，由△PEF与△MNO相似，可得=或=，即=或=，解方程即可解决问题；

②当P点在EF上方时，过P作PH⊥MN于H，如图2中，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；

试题解析：解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM=6cm，ON=，∴tan∠OMN= =，∴∠OMN=30°，∴∠ONM=60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∠NOA=30°，∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA=OM=×6=3．故答案为：3．

（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB=3，所以t=3．故答案为：3．

（3）①如图1中，由题意BP=2t，BM=6﹣t，∵∠BEM=90°，∠BME=30°，∴BE=3﹣，AE=AB﹣BE=，∵∠BAC=60°，∴EF=AE=t，当点P在EF下方时，PE=BE﹣BP=3﹣t，由，解得0≤t＜，∵△PEF与△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=1或t=．

当点P在EF上方时，PE=BE﹣BP=t-3，∵△PEF与△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=或3．∵0≤t≤，且t-3＞0，即＜t≤，∴t=.

综上所述，t=1或或．

②当P点在EF上方时，过P作PH⊥MN于H，如图2中，由题意，EF=t，FC=MC=3﹣t，∠PFH=30°，∴PF=PC﹣CF=（6﹣2t）﹣（3﹣t）=3﹣t，∴PH=PF=，∴S=EFPH=×t×= =，∵≤t≤3，∴当t=时，△PEF的面积最大，最大值为，此时P（3， ），当t=3时，点P与F重合，故P点在EF下方不成立．

故S= ，当t=时，△PEF的面积最大，最大值为，此时P（3， ）．