题目内容
【题目】如图,△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,交CD于点F.且CE=CF.
(1)求证:直线CA是⊙O的切线;
(2)若BD=DC,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)若要证明直线CA是⊙O的切线,则只要证明∠ACB=90°即可;
(2)易证△ADF∽△ACE,由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值.
试题解析:解:(1)证明:∵BC为直径,∴∠BDC=∠ADC=90°,∴∠1+∠3=90°
∵AE平分∠BAC,CE=CF,∴∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠2+∠3=90°,∵∠3=∠4,∴∠2+∠5=90°,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,∴直线CA是⊙O的切线;
(2)由(1)可知,∠1=∠2,∠3=∠5,∴△ADF∽△ACE,∴ ,∵BD=
DC,∴tan∠ABC=
=
,∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ACD+∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACD,∴tan∠ACD=
,∴sin∠ACD=
,∴
=
.
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