题目内容
如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(-3
,O),C(
,O).
(1)求⊙M的半径;
(2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH.
(3)在(2)的条件下求AF的长.
3 |
3 |
(1)求⊙M的半径;
(2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH.
(3)在(2)的条件下求AF的长.
(1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM,
∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径,
∴BT=TC=
BC=2
,
∴BM=
=4;
(2)如图(二),连接AE,
证明:∵点B,和点C关于过点M且平行于y轴的直线对称,所以AM垂直平分BC交BC于D,且点D是坐标的原点,
∴∠ADB=90°,∵CE垂直AB于H,∴∠AHF=90°,
∴点H,B,D,F,四点共圆,∴∠AFH=∠ABC,∠ABC=∠E,∴∠E=∠AFH,
∴AE=AF,
∵CE垂直AB于H,
∴AH说是EF的中线,
∴EH=FH;
(3)由(1)易知,∠BMT=∠BAC=60°,
作直径BG,连CG,则∠BGC=∠BAC=60°,
∵⊙O的半径为4,
∴CG=4.
连AG,
∵∠BCG=90°,
∴CG⊥x轴,
∴CG∥AF,
∵∠BAG=90°,
∴AG⊥AB,
∵CE⊥AB,
∴AG∥CE,
∴四边形AFCG为口,
∴AF=CG=4.
∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径,
∴BT=TC=
1 |
2 |
3 |
∴BM=
12+4 |
(2)如图(二),连接AE,
证明:∵点B,和点C关于过点M且平行于y轴的直线对称,所以AM垂直平分BC交BC于D,且点D是坐标的原点,
∴∠ADB=90°,∵CE垂直AB于H,∴∠AHF=90°,
∴点H,B,D,F,四点共圆,∴∠AFH=∠ABC,∠ABC=∠E,∴∠E=∠AFH,
∴AE=AF,
∵CE垂直AB于H,
∴AH说是EF的中线,
∴EH=FH;
(3)由(1)易知,∠BMT=∠BAC=60°,
作直径BG,连CG,则∠BGC=∠BAC=60°,
∵⊙O的半径为4,
∴CG=4.
连AG,
∵∠BCG=90°,
∴CG⊥x轴,
∴CG∥AF,
∵∠BAG=90°,
∴AG⊥AB,
∵CE⊥AB,
∴AG∥CE,
∴四边形AFCG为口,
∴AF=CG=4.
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