题目内容

【题目】若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2
(1)如图①,AC=DF,BC=DE,∠C=30°,∠D=150°,比较S1与S2的大小为
A.S1>S2
B.S1<S2
C.S1=S2
D.不能确定
(2)说明(1)的理由.
(3)如图②,在△ABC与△DEF中,AC=DF,BC=DE,∠C=30°,点E在以D为圆心,DE长为半径的半圆上运动,∠EDF的度数为α,比较S1与S2的大小(直接写出结果,不用说明理由).

【答案】
(1)C
(2)解:如图1,

作BG⊥AC垂足为G,作EH⊥DF,垂足为H,

在Rt△BCG中,∠C=30°,

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC,

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC

在Rt△EDH中,∠EDH=180°﹣∠EDF=30°,

∴EH=EDsin∠EDH=EDsin30°= ED,

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DE,

∵BC=DE,AC=DF,

∴S1=S2


(3)解:如图2,过点B作BG⊥AC,

①当0°<α≤90°时,

在Rt△BCG中,∠C=30°,

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC,

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC,

∵BC=DE,AC=DF,

∴S1= DF×DE= DF×DE×

在Rt△EDH中,∠EDH=α,

∴EH=EDsin∠EDH=EDsinα,

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DEsinα,

Ⅰ、当sinα< 时,即:0°<α<30°时,S1>S2

Ⅱ、当sinα= 时,即:α=30°时,S1=S2

Ⅲ、当sinα> 时,即:30°<α≤90°时,S1<S2

②当90°<α<180°时,设∠MDN=β=180°﹣α,

同①方法得,S1= DF×DE×

S2= DF×DEsinβ,

Ⅰ、当sinβ< 时,即:0°<β<30°时,

∴0°<180°﹣α<30°,即:150°<α<180°时,S1>S2

Ⅱ、当sinβ= 时,即:β=30°时,即:α=150°时,S1=S2

Ⅲ、当sinβ> 时,即:30°<β<90°时,即:90°<α<150°时,S1<S2

综上所述,

Ⅰ.当α<30°、150°<α<180°时S1>S2

Ⅱ.当α=30°、α=150°时S1=S2

Ⅲ.当30°<α<150°时,S1<S2


【解析】(1)先直接判断出结论,(2)用三角形的面积公式即可得出结论;(3)用三角形的面积公式,再用三角函数中正弦值的性质分类讨论即可得出结论.

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