Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）．
（1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点；
（2）若该二次函数图象经过点（2m﹣2，﹣2m﹣1），求该二次函数的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵b2﹣4ac=（2m+1）2﹣4（ m2﹣1）

=（4m2+4m+1）﹣2m2+4

=2m2+4m+5

=2（m+1）2+3＞0，

∴不论m取什么实数，方程x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）=0都有两个不相等的实数根，

∴不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点

（2）解：∵该二次函数图象经过点（2m﹣2，﹣2m﹣1），

∴（2m﹣2）2﹣（2m+1）（2m﹣2）+（ m2﹣1）=﹣2m﹣1，

解得：m1=2，m2=6，

当m=2时，该二次函数的表达式为：y=x2﹣5x+1，

当m=6时，该二次函数的表达式为：y=x2﹣13x+17

【解析】（1）首先求出b2﹣4ac的表达式，进而利用配方法求出其符号，进而得出答案；（2）将已知点代入进而求出m的值得出答案．
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．