Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的解析式和对称轴；      
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边的Rt△时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N，当△ACN的面积为时，求直线AN的解析式.

Answer 1

（1）y=-x²+2x+3  (2) P₁(1,1),P₂(1,2)   (3)

试题分析：
解：（1）将三点代入y=ax²+bx+c中，易求解析式为：
对称轴为：直线 
（2）设点P（1，y）是直线l上的一个动点，作CF⊥l于F，l交x轴于E，
则AC²＝AO²＋CO²＝10，CP²＝CF²＋PF²＝1＋（3－y）²＝
AP²＝AE²＋PE²＝4＋y², ∴由CP²＋AP²＝AC²，
得：＋4＋y²＝10，解得或
∴P点的坐标为P₁（1，1）、P₂（1, 2）
解法二; 用△相似解法更简单如下：
∵CP⊥AP，∴△CPF∽△PAE，∴，∴∴解得或
（3）
设点M（1，m）, 与（2）同理可得：AC²＝10，CM²＝，AM²＝4＋m²
①当AC＝CM时，10＝，解得：m＝0或m＝6（舍去）
②当AC＝AM时，10＝4＋m², 解得：m＝或m＝
③当CM＝AM时，＝4＋m²，解得：m＝1
检验：当m＝6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点有4个，
M坐标为(1，0) 、(1，)、(1，－)、(1，1)

(4)设直线AN的解析式为，且交y轴于点K，∵过点A（―1, 0），∴，
∴K（0，k），∵N是直线AN与抛物线的交点，∴，解得x＝3―k，
或x＝―1（舍去），∴N点的横坐标为x＝3―k（k＜3）  
由S_△ACN＝S_△ACK＋S_△CKN＝CK·OA＋CK·NJ＝（3―k）×1＋（3―k）²
＝
令＝，解得k＝（舍去），或k＝，
∴直线AN的解析式为
点评：熟知上述性质概念，本题综合性很强，运用的知识点很多，要认真审题才可解之，还需做辅助线求得，在二问中有两个答案易漏求，求得方法也不唯一，三问中可求有五个点，有一个不合题意需舍去，四问中同样也有一个要舍去，计算量较多，易出错，难度较大，属于难题。