Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+42交x轴于点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax²﹣2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．

（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
（3）若Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（4）若Q为线段OB或线段AB上一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

Answer 1

（1）C的纵坐标为16，D的纵坐标为4，(2)a=,c="10" (3)PQ=2±3(4)0≦m≦4或8≦m≦16.

试题分析：解：(1）∵点C在直线AB：y=﹣2x+42上，且C点的横坐标为16，
∴y=﹣2×16+42=10，即点C的纵坐标为10；
∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为4；
（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），
∵抛物线y=ax²﹣2x+c经过C、D两点，
∴，
解得：a=，c=10，
∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x+10；
（3）∵Q为线段OB上一点，纵坐标为5，
∴P点的横坐标也为5，
∵点Q在抛物线上，纵坐标为5，
∴x²﹣2x+10=5，
解得x₁=8+2，x₂=8﹣2，
当点Q的坐标为（8+2，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为2+3，
当点Q的坐标为（8﹣2，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为2﹣3．
所以线段PQ的长为2+3或2﹣3．
（4）根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，
抛物线y=x²﹣2x+10=（x﹣8）²+2的顶点坐标为（8，2），
联立解得点B的坐标为（14，14），
①当点Q为线段OB上时，如图所示，当0≤m≤4或8≤m≤14时，d随m的增大而减小，
②当点Q为线段AB上时，如图所示，当14≤m≤16时，d随m的增大而减小，
综上所述，当0≤m≤4或8≤m≤16时，d随m的增大而减小．

点评：熟知以上性质，本题有四问较多，计算量也很大，需要细心审题解答，综合性较强，易出错，本题难度偏大，复杂，属于难题。