Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

（1）；（2）；（3）（1，）．

试题分析：（1）先根据题意得到点A、B、C的坐标，再根据待定系数法即可求得结果；
（2）先把（1）中的函数关系式配方为顶点式，即可求得顶点坐标，过G作GH⊥AB，垂足为H．即可得到AH＝BH＝1，GH＝－2＝．由EA⊥AB，GH⊥AB，可得GH是△BEA的中位线，从而可得EA＝3GH＝．过B作BM⊥OC，垂足为M．MB＝OA＝AB．由∠EBF＝∠ABM＝90°，可得∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．即可证得Rt△EBA≌Rt△FBM．再根据全等三角形的性质即可求得结果；
（3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C₁，得点C₁的坐标为（－1，1）．可求出直线BC₁的解析式为．再求的直线与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1，）．从而得到结果．
（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+2.
则解得   
∴；
（2）由＝．
∴顶点坐标为G（1，）．
过G作GH⊥AB，垂足为H．
则AH＝BH＝1，GH＝－2＝．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位线 ．
∴EA＝3GH＝．
过B作BM⊥OC，垂足为M ．
则MB＝OA＝AB．
∵∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴∠EBA＝∠FBM＝90^°－∠ABF．
∴Rt△EBA≌Rt△FBM．
∴FM＝EA＝．
∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，
∴CF＝FM＋CM＝；
（3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C₁，得点C₁的坐标为（－1，1）．可求出直线BC₁的解析式为． 
直线与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1，）．点P的坐标为（1，）．
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.