Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于点E，AF⊥BD与点F，延长AF交BC于点G.求证：AB²=BG·BC

Answer 1

见解析.

试题分析：因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，证得∠C=∠BAG，又因为∠ABG是公共角，即可证得△ABG∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB²=BG•BC．
试题解析：
证明：延长AF交圆于H

∵BD直径，AF⊥BD于点F
∴=
∴∠1=∠C
又∠ABG=∠ABC，
∴△ABG∽△CBA
∴
∴AB²=BG·BC．