Question

如图，点C在以AB为直径的半圆O上，以点A为旋转中心，以∠β（0°＜β＜90°）为旋转角度将B旋转到点D，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，过点C作圆O的切线交DE于点G。

（1）求证：∠GCA=∠OCB；
（2）设∠ABC=m°，求∠DFC的值；
（3）当G为DF的中点时，请探究∠β与∠ABC的关系，并说明理由。

Answer 1

(1)证明见解析；（2）m°；（3）∠β=180°-2∠ABC．理由见解析.

试题分析：（1）由AB为⊙O的直角，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°，再根据切线的性质得OC⊥CG，则∠3+∠GCA=90°，然后利用等量代换即可得到∠1=∠GCA；
（2）由DE⊥AB得到∠AEF=90°，再根据等角的余角相等可得到∴∠AFE=∠ABC=m°，然后利用对顶角相等有∠DFC=∠AFE=m°；
（3）由∠GCA=∠1，∠DFC=∠ABC易得∠GCF=∠GFC，根据等腰三角形的判定得到GF=GC，由GD=GF得到GD=GC，则∠2=∠4，利用三角形内角和得∠2+∠GCF=×180°=90°，即∠DCF=90°，而∠ACB=90°，于是得到点B、C、D共线，然后根据旋转的性质得到△ABC以AB为腰的等腰三角形，且顶角∠BAC=β，则根据三角形内角和定理易得β=180°-2∠ABC．
试题解析：（1）证明：如图：

∵AB为⊙O的直角，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°，
∵GC为⊙O的切线，
∴OC⊥CG，
∴∠OCG=90°，即∠3+∠GCA=90°，
∴∠1=∠GCA，
即∠GCA=∠OCB；
（2）∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠AFE=∠ABC=m°，
∴∠DFC=∠AFE=m°；
（3）∠β=180°-2∠ABC．理由如下：
∵∠GCA=∠1，∠DFC=∠ABC，
而∠1=∠ABC，
∴∠GCF=∠GFC，
∴GF=GC，
∵G为DF的中点，
∴GD=GF，
∴GD=GC，
∴∠2=∠4，
∴∠2+∠GCF= ×180°=90°，即∠DCF=90°，
而∠ACB=90°，
∴点B、C、D共线，
∵以点A为旋转中心，以∠β（0°＜β＜90°）为旋转角度将B旋转到点D，
∴AD=AB，∠BAD=β，
∴∠ABD=∠ADB，
∴β+2∠ABC=180°，
即β=180°-2∠ABC．
考点: 圆的综合题．