Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在轴上移动.小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（，）和（，）.请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标                 .

Answer 1

（，）和（，）

试题分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP= OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案．
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，OA=AC=6，OD=BD=8，
∴在Rt△AOD中，
∵E为AD中点，
∴OE=AD=5，
①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）和（5，0）；
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；
③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，

∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=OA=3，
∴
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=：4，
解得，
∴P点坐标为（，0）．
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0）或（，0）．
点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．