Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=OB=5．点C是第一象限内一动点，直线AC交y轴于点F．射线BD与直线AC垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．OE⊥OC，交射线BD于点E．
（1）求证：不论点C怎样变化，点O总是在线段CE的垂直平分线上；
（2）若点C的坐标为（2，4），求直线BD的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）若要证明不论点C怎样变化，点O总是在线段CE的垂直平分线上，则问题可转化为证明OC=OE，所以此题可通过证明两次三角形全等即可；
（2）设直线AC的解析式为：y=ax+b，把A，C坐标代入可求出a和b的值，进而可求出OF的长，因为OF=OM，所以M的坐标又可求出，再设直线BD的解析式为y=kx+b，把M和B点的坐标代入求出k和b的值即可求出直线BD的解析式．

解答：（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDF=90°，
∴∠OBM+∠OFA=90°，
∵∠AOF=90°，
∴∠OAF+∠OFA=90°，
∴∠OAF=∠OBM，
在△OAF和△OBM中，

∠OAF=∠OBM OA=OB ∠FOA=∠MOB=90°

，
∴△OAF≌△OBM，
∴OF=OM，∠OFA=∠OMB，
∵OC⊥OE，
∴∠EOC=90°，
∴∠AOF∠AOC=∠EOC-∠AOC，
∴∠FOC=∠MOE，
在△OFC和△OME中，

∠OFC=∠OME OF=OM ∠FOC=∠MOE

，
∴△OFC≌△OME，
∴OC=OE，
∴不论点C怎样变化，点O总是在线段CE的垂直平分线上；
（2）解：设直线AC的解析式为：y=ax+b，把A，C坐标代入可求出a=-

4

3

，b=

20

3

∴直线线AC的解析式为y=-

4

3

x+

20

3

，
令x=0，可求得y=

20

3

，
∴OM=OF=

20

3

，
∴点M的坐标为（

20

3

，0）
设直线BD的解析式为y=kx+b，把M（

20

3

，0）和B（0，-5）的坐标代入得：

0= 20 3 k+b b=-5

解得：

k= 3 4 b=-5

，
∴直线BD的解析式为y=

3

4

x-5．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题，题目的综合性较强，难度中等．