Question

如图1，∠AOP=30°，点B是OA的中点，AB=6，以AB为边向上作正方形ABCD．把边长为6的等边△EFG的边 EG放在直线OP上，使点E与点O重合，FG交OB于点H．
（1）求OH的长度；
（2）在图1的基础上，把等边三角形EFG沿OP方向平移（如图2），平移到点E在CB延长线时停止．在平移过程中，当DF=CF时，求出△EFG平移的距离；
（3）在（2）中平移停止时，再把三角形EFG绕点E逆时针方向旋转（如图3），旋转角α的范围为0°≤α＜180°．在旋转的过程中，是否存在α的值，使BG=BE？若存在，求出所有满足条件的α的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）通过解直角三角函数即可求得：
（2）先求得FG⊥AB，进而求得FG⊥CD，由于FC=FD，则F在CD的垂直平分线上，得出FG平分CD，得出 BM=

1

2

AB=3，从而得出OM的值，进而求得OG的长，再减去等边三角形的边长既是平移的长；
（3）当α=90°时，使BG=BE；先根据解直角三角形OBE求得BE=2

3

，然后根据∠PEG=90°，得出∠GEB=30°，FG∥OA，进而得出FM=MG=3，EM⊥FG，然后根据勾股定理求得BG=2

3

，证得BG=BE；

解答：解：（1）如图1，∵△EFG是等边三角形，
∴∠OGF=60°，
∵∠AOP=30°，
∴∠OHG=90°，
∴OH=cos∠AOP•OG，
∵OG=6，
∴OH=cos30°×6=

3

2

×6=3

3

，
即OH=3

3

．

（2）如图2，设FG交AB于M，
∵∠EGF=60°，∠AOP=30°，
∴FG⊥AB，
∵DF=CF，
∴F在CD的垂直平分线上，
∴FG垂直平分AB，
∴OM=9，
∴OG=

OM

3 2

=6

3

，
∴△EFG平移的距离=6

3

-6；

（3）当α=90°时，使BG=BE；
理由：如图3，∵α=90°，
∴∠OEG=90°，
∵∠AOP=30°，
∴∠ONE=60°，
∵∠EGF=60°，
∴OA∥FG，
∵∠PEB=120°，
∴∠BEG=30°，
∴BE平分∠FEG，
∴BE垂直平分FG，
∴FM=GM=3，
在RT△OEB中，∠AOP=30°，OB=6，
∴BE=2

3

，
根据图1中OH=3

3

，可知EM=3

3

，
∴BM=EM-BE=

3

，
在RT△BMG中，BG=

BM2+MG2

=

( 3 )2+32

=2

3

，
∴BG=BE=2

3

．
∴当α=90°时，使BG=BE．

点评：本题考查应用三角函数求得三角形边的长，三角形旋转的性质，线段的垂直平分线的性质定理以及逆定理的应用，勾股定理的应用．