题目内容
如图所示,在平面直角坐标中,M是x轴正半轴上一点,⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点,A在B的左侧,且OA、OB的长是方程x2-4x+3=0的两根,ON是⊙M的切线,N为切点,N在第四象限.
(1)求⊙M的直径;
(2)求点N的坐标;
(3)在x轴上存在点T,使△OTN是等腰三角形,请直接写出T的坐标.
(1)求⊙M的直径;
(2)求点N的坐标;
(3)在x轴上存在点T,使△OTN是等腰三角形,请直接写出T的坐标.
考点:圆的综合题
专题:
分析:(1)解方程x2-4x+3=0即可得出OA,OB的长,OB减OA就是圆的直径,
(2)连接MN,作ND⊥x轴,运用勾股定理求出ON的长,利用直角三角形中30°的角求出点N的坐标.
(3)T的坐标要分四种情况①当OT=TN时,②当OT=ON时,③当ON=TN时④当OT=ON时,且在x轴的负半轴,分别利用△OTN是等腰三角形求出点T的坐标.
(2)连接MN,作ND⊥x轴,运用勾股定理求出ON的长,利用直角三角形中30°的角求出点N的坐标.
(3)T的坐标要分四种情况①当OT=TN时,②当OT=ON时,③当ON=TN时④当OT=ON时,且在x轴的负半轴,分别利用△OTN是等腰三角形求出点T的坐标.
解答:解:(1)解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3,
∵OA、OB的长是方程x2-4x+3=0的两根,
∴OA=1,OB=3,
∴⊙M的直径=OB-OA=3-1=2;
(2)如图1,连接MN,作ND⊥x轴,
由(1)可知⊙M的直径为2,
∴MN=1,
∵OA=1,
∴OM=1+1=2,
∴ON=
=
=
,
∵sin∠MON=
=
,
∴∠sin∠MON=30°,
∴DN=
ON=
,OD=
DN=
,
∵N在第四象限.
∴点N的坐标(
,-
);
(3)①如图2,当OT=TN时,
设T的坐标为(m,0),
∵TN=
∴OT2=TN2,即m2=(
-m)2+
,
解得m=1,
∴点T的坐标为(1,0).
②如图3,当OT=ON时,
∵ON=
,
∴点T的坐标为(
,0),
③如图4,当ON=TN时
设T的坐标为(m,0),
∵TN=
∴ON2=TN2,即(
)2=(
-m)2+
,
解得m=3,m=0(舍去),
∴点T的坐标为(3,0).
④如图5,当OT=ON时,且在x轴的负半轴,
∵ON=
,
∴OT=
∵T在x轴的负半轴,
∴点T的坐标为(-
,0)
∴△OTN是等腰三角形,点T的坐标为:(1,0),(
,0),(3,0)或(-
,0).
∵OA、OB的长是方程x2-4x+3=0的两根,
∴OA=1,OB=3,
∴⊙M的直径=OB-OA=3-1=2;
(2)如图1,连接MN,作ND⊥x轴,
由(1)可知⊙M的直径为2,
∴MN=1,
∵OA=1,
∴OM=1+1=2,
∴ON=
OM2-MN2 |
22-1 |
3 |
∵sin∠MON=
MN |
OM |
1 |
2 |
∴∠sin∠MON=30°,
∴DN=
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
3 |
2 |
∵N在第四象限.
∴点N的坐标(
3 |
2 |
| ||
2 |
(3)①如图2,当OT=TN时,
设T的坐标为(m,0),
∵TN=
(
|
∴OT2=TN2,即m2=(
3 |
2 |
3 |
4 |
解得m=1,
∴点T的坐标为(1,0).
②如图3,当OT=ON时,
∵ON=
3 |
∴点T的坐标为(
3 |
③如图4,当ON=TN时
设T的坐标为(m,0),
∵TN=
(
|
∴ON2=TN2,即(
3 |
3 |
2 |
3 |
4 |
解得m=3,m=0(舍去),
∴点T的坐标为(3,0).
④如图5,当OT=ON时,且在x轴的负半轴,
∵ON=
3 |
∴OT=
3 |
∵T在x轴的负半轴,
∴点T的坐标为(-
3 |
∴△OTN是等腰三角形,点T的坐标为:(1,0),(
3 |
3 |
点评:本题主要考查了圆的综合题,涉及一元二次方程,勾股定理及圆的知识,第三问是难点,解题的关键是分四种情况讨论得出T的坐标.
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