Question

在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； 
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）试证明在旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；
（4）设△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

Answer 1

考点：几何变换综合题,平行线的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,正方形的性质,扇形面积的计算

专题：压轴题

分析：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，易证∠MOH=45°，然后运用扇形的面积公式就可求出边OA在旋转过程中所扫过的面积．
（2）根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN，从而可以证到△OAM≌△OCN．进而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋转角∠HOA的度数．
（3）过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，易证△OAE≌△OCN，从而得到OE=ON，AE=CN，进而可以证到△OME≌△OMN，从而得到∠OME=∠OMN，然后根据角平分线的性质就可得到结论．
（4）由△OME≌△OMN（已证）可得ME=MN，从而可以证到MN=AM+CN，进而可以推出p=AB+BC=4，是定值．

解答：解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，
∵点M在直线y=x上，
∴OH=MH．
在Rt△OHM中，
∵tan∠MOH=

MH

OH

=1，
∴∠MOH=45°．
∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45°．
∵正方形OABC的边长为2，
∴OA=2．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

45π×22

360

=0.5π．

（2）如图1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°．
∵MN‖AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中，

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=AN

．
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM=

1

2

×（90°-45°）=22.5°．
∴∠HOA=45°-22.5°=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为22.5°．

（3）证明：过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，

∠AOE=∠CON OA=OC ∠EAO=∠NCO=90°

．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE=ON ∠EOM=∠NOM=45° OM=OM

．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OF=OA=2．
∴在旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值．

（4）在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化．
证明：∵△OME≌△OMN（已证），
∴ME=MN．
∵AE=CN，
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化，等于4．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、扇形的面积公式、等腰三角形的判定、特殊角的三角函数值等知识，有一定的综合性．而本题在图形旋转的过程中探究不变的量，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．