题目内容
已知:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AM平分∠DAB,DM平分∠ADC,点M恰在BC上.
(1)求证:AM⊥DM;
(2)若∠C=90°,求证:BM=CM;
(3)若M是BC的中点,猜想AD、AB、CD之间有何数量关系?请证明你的结论.
(1)求证:AM⊥DM;
(2)若∠C=90°,求证:BM=CM;
(3)若M是BC的中点,猜想AD、AB、CD之间有何数量关系?请证明你的结论.
考点:全等三角形的判定与性质
专题:
分析:(1)由AB∥CD就可以得出∠CDA+∠DAB=180°,由角平分线的性质就可以得出∠ADM=
∠ADC,∠DAM=
∠DAB,就可以求出∠AMD=90°而得出结论;
(2)如图1,作ME⊥AD,由AB∥CD就可以得出∠B=90°,由交平分线的性质就可以得出ME=MC.ME=MB而得出结论;
(3)如图2,延长DM、AB相交于点F,则△DCM≌△FBM,就有DM=FM,CD=BF,由AM⊥DM得出AD=AF,由AF=AB+BF=AB+CD,进而得出AD=CD+AB.
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(2)如图1,作ME⊥AD,由AB∥CD就可以得出∠B=90°,由交平分线的性质就可以得出ME=MC.ME=MB而得出结论;
(3)如图2,延长DM、AB相交于点F,则△DCM≌△FBM,就有DM=FM,CD=BF,由AM⊥DM得出AD=AF,由AF=AB+BF=AB+CD,进而得出AD=CD+AB.
解答:证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠CDA+∠DAB=180°.
∵AM平分∠DAB,DM平分∠ADC,
∴∠ADM=
∠ADC,∠DAM=
∠DAB,
∴∠ADM+∠DAM=
(∠CDA+∠DAB)=
×180°=90°,
∴∠AMD=90°,
∴AM⊥DM;
(2)如图1,作ME⊥AD,
∵AB∥CD,
∴∠C+∠B=180°.
∵∠C=90°,
∴∠B=90°,
∴MC⊥CD,MB⊥AB.
∵AM平分∠DAB,DM平分∠ADC,
∴ME=MC.ME=MB,
∴BM=CM;
(3)AD=CD+AB.
理由:如图2,延长DM、AB相交于点F,
∵M是BC的中点,
∴CM=BM.
∵AB∥CD,
∴∠C=∠B,∠CDM=∠F.
在△DCM和△FBM中,
,
∴△DCM≌△FBM(AAS),
∴CD=BF,DM=FM.
∵AM⊥DM,
∴AD=AF.
∵AF=AB+BF,
∴AF=AB+CD,
∴AD=AB+CD.
∴∠CDA+∠DAB=180°.
∵AM平分∠DAB,DM平分∠ADC,
∴∠ADM=
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∴∠ADM+∠DAM=
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∴∠AMD=90°,
∴AM⊥DM;
(2)如图1,作ME⊥AD,
∵AB∥CD,
∴∠C+∠B=180°.
∵∠C=90°,
∴∠B=90°,
∴MC⊥CD,MB⊥AB.
∵AM平分∠DAB,DM平分∠ADC,
∴ME=MC.ME=MB,
∴BM=CM;
(3)AD=CD+AB.
理由:如图2,延长DM、AB相交于点F,
∵M是BC的中点,
∴CM=BM.
∵AB∥CD,
∴∠C=∠B,∠CDM=∠F.
在△DCM和△FBM中,
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∴△DCM≌△FBM(AAS),
∴CD=BF,DM=FM.
∵AM⊥DM,
∴AD=AF.
∵AF=AB+BF,
∴AF=AB+CD,
∴AD=AB+CD.
点评:本题考查了角平分线的性质的运用,垂直平分线的性质的运用,全等三角形的判定与性质的运用,垂直的判定与性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
练习册系列答案
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如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4cm,∠AOD=120°,则BC的长为( )
A、4
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B、4cm | ||
C、2
| ||
D、2cm |