Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1，

∴，

解得：．

∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）

解：令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，

∴点A（﹣3，0），B（1，0），

作PD⊥x轴于点D，

∵点P在y=﹣x2﹣2x+3上，

∴设点P（x，﹣x2﹣2x+3）

①∵PA⊥NA，且PA=NA，

∴△PAD≌△ANQ，

∴AQ=PD，

即y=﹣x2﹣2x+3=2，

解得x=﹣1（舍去）或x=﹣﹣1，

∴点P（﹣﹣1，2）；

②设P（x，y），则y=﹣x2﹣2x+3，

由于P在第二象限，所以其横坐标满足：﹣3＜x＜0，

∵S四边形PABC=S△OBC+S△APO+S△OPC，

S△OBC=OBOC=×3×1=，

S△APO=AO|y|=×3y=y=（﹣x2﹣2x+3）=﹣x2﹣3x+，

S△OPC=CO|x|=×3（﹣x）=﹣x，

∴S四边形PABC=﹣x2﹣3x+﹣x=6﹣x﹣x2=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，S四边形PABC最大值=，此时y=﹣x2﹣2x+3=，

所以P（﹣，）．

【解析】（1）将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PE=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②用分割法将四边形的面积S四边形BCPA=S△OBC+S△OAC ， 得到二次函数，求得最值即可．
此题考查了二次函数的综合应用，涉及知识点待定系数法求解析式，分割法求图形面积，二次函数的最值求法.