题目内容

【题目】一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.

(1)求证:△AEF∽△ABC;
(2)求这个正方形零件的边长;
(3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?

【答案】
(1)

解:∵四边形EGFH为矩形,

∴BC∥EF,

∴△AEF∽△ABC;


(2)

解:设正方形零件的边长为amm

在正方形EFGH中,EF∥BC,EG∥AD

∴△AEF∽△ABC,△BFG∽△BAD

即:

解得:a=48

即:正方形零件的边长为48mm;


(3)

设长方形的长为x,宽为y,

当长方形的长在BC时,

由1知:=1,

∴当,即x=60,y=40,xy最大为2400

当长方形的宽在BC时,

∴当,即x=40,y=60,xy最大为2400,

又∵x≥y,所以长方形的宽在BC时,面积<2400

综上,长方形的面积最大为2400mm2


【解析】(1)根据矩形的对边平行得到BC∥EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线,得到的三角形与原三角形相似”判定即可.
(2)根据正方形边的平行关系,得出对应的相似三角形,即△AEF∽△ABC,△BFG∽△BAD,从而得出边长之比,得到,进而求出正方形的边长;
(3)分别讨论长方形的长和宽在BC上的情况,再根据相应得关系式得出所求.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识,掌握测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.

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