题目内容
【题目】一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求证:△AEF∽△ABC;
(2)求这个正方形零件的边长;
(3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?
【答案】
(1)
解:∵四边形EGFH为矩形,
∴BC∥EF,
∴△AEF∽△ABC;
(2)
解:设正方形零件的边长为amm
在正方形EFGH中,EF∥BC,EG∥AD
∴△AEF∽△ABC,△BFG∽△BAD
∴,,
∴,
即:
解得:a=48
即:正方形零件的边长为48mm;
(3)
设长方形的长为x,宽为y,
当长方形的长在BC时,
由1知:=1,
∵,
∴当,即x=60,y=40,xy最大为2400
当长方形的宽在BC时,,
∵,
∴当,即x=40,y=60,xy最大为2400,
又∵x≥y,所以长方形的宽在BC时,面积<2400
综上,长方形的面积最大为2400mm2.
【解析】(1)根据矩形的对边平行得到BC∥EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线,得到的三角形与原三角形相似”判定即可.
(2)根据正方形边的平行关系,得出对应的相似三角形,即△AEF∽△ABC,△BFG∽△BAD,从而得出边长之比 , ,得到,进而求出正方形的边长;
(3)分别讨论长方形的长和宽在BC上的情况,再根据相应得关系式得出所求.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识,掌握测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.
【题目】某市居民用电的电价实行阶梯收费,收费标准如下表:
一户居民每月用电量x(单位:度) | 电费价格(单位:元/度) |
0<x≤200 | a |
200<x≤400 | b |
x>400 | 0.92 |
(1)已知李叔家四月份用电286度,缴纳电费178.76元;五月份用电316度,缴纳电费198.56元,请你根据以上数据,求出表格中a,b的值.
(2)六月份是用电高峰期,李叔计划六月份电费支出不超过300元,那么李叔家六月份最多可用电多少度?