题目内容
【题目】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE=90°．当BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．
请回答：
（1）小明发现的与CD相等的线段是_____．
（2）证明小明发现的结论；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，BD=2DC，点E在AD上，且∠BEC=135°，求
的值．
【答案】（1）DE；（2）证明见解析；（3）
.
【解析】试题分析
（1）、（2）：如图2，作EF⊥AB，垂足为F．由题意可证得△ACD≌△DFE，由此可得 CD=DE，故小明分析的与CD相等的线段是线段DE；
（3）如图3，过点E作BC的平行线，与AB、AC分别相交于点F、G．由已知条件结合辅助线可证得：BF=CG，△BFE∽△EGC，从而可得
；由△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，可得
， 
从而可得
结合 BD=2DC即可得到FE=2EG，由此得到
，则可得BF2=2EG2，即BF=
EG，即可得到： 
.
试题解析：
（1）、（2）如图2，作EF⊥AB，垂足为F．
则∠BFE=∠DFE=90°═∠A═∠CDE．
∵∠ADC+∠CDE=∠ADE=∠DFE+∠FED，
∴∠ADC=∠FED．
∵∠BFE=90°，∠B=30°，
∴BE=2FE．
∵BE=2AD，
∴FE=AD．
在△FED和△ADC中，
∠FED=∠ADC，∠DFE=∠CAD，FE=AD，
∴△FED≌△ADC．
∴DE=CD，
故（1）中小明所发现的与CD相等的线段是DE；
（3）如图3，过点E作BC的平行线，与AB、AC分别相交于点F、G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°，∠BFE=135°=∠EGC．
∴AF=AG．BF=GC．
∵∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE，
∴∠FBE=∠GEC
∴△BFE∽△EGC．
∴
，
∵FG∥BC，
∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，
∴
， 
，
∴
∵BD=2DC，
∴FE=2EG，
∴
，
∴
，
∴
