题目内容
【题目】定义：长宽比为
：1（n为正整数）的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个
矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=
=．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴
=
，即
=
．
∴BF=．
∴BC：BF=1：=：1．
∴四边形BCEF为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是 ;
（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是
矩形；
（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 .
【答案】
（1）GH、DG；
（2）
∵BC=1，EC=BF=
，
∴BE=
=
．
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴
=
，即BPBF=BEBN，
∴1×=BN，
∴BN=
，
∴BC：BN=1：=
：1，
∴四边形BCMN是的矩形；
（3）6
【解析】（1）由折叠可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
设HC=x，则DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，∴DH=
x，
∴DC=DH+CH=x+x=1，
解得x=
．
∴tan∠HBC=
=
=．
所以答案是：GH、DG，
（3）同理可得：
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“
矩形”，
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“
矩形”，
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“
矩形”，
所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“
矩形”，
所以答案是6．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
