题目内容
【题目】如图所示,在中,,于点D,BE平分,且于点E与CD相交于点F,于点H,交BE于点G,下列结论:①;②;③④;其中正确的是___________.
【答案】①②③④
【解析】
先根据AAS证明△ADC≌△FDB,得到AD=DF,∠DAC=∠DFB,从而得出①正确;
在Rt△ADF中,由AD=DF求得∠DFA,根据等腰直角三角形的性质求得∠HDC=,从而得到∠DFA=∠HDC,由平行线的判定得到④正确;
根据ASA证明△ABE≌△CBE,得到CE=AC,结合①中证明△ADC≌△FDB可得AC=BF,则得出③正确;
由等腰三角形的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理求得∠DFB,由等腰三角形的性质、角平分线的性质和三角形外角性质求得∠DGF=,从而得到∠DFB=∠DGF,再由等角对等边得到②正确.
∵于点D,于点E,
∴∠BDF=∠BDA=,∠BAC+∠ABF=∠DAC+∠ACD=,
∴∠ABF=∠ACD,
在△ADC和△FDB中
,
∴△ADC≌△FDB(AAS),
∴AD=DF,∠DAC=∠DFB,
又∵DF+CF=CD,CD=BD,
∴,故①正确;
∵AD=DF,于点D,
∴∠DAF=∠DFA=,
∵BD=DC,于点D,于点H,
∴∠HDC=∠HDB=,
又∵∠DFA,
∴∠DFA=∠HDC,
∴,故④正确;
∵BE平分,且于点E,
∴∠ABE=∠CBE,∠AEB=∠CEB,
在△ABE和△CBE中
,
∴△ABE≌△CBE,
∴AE=CE,
∴CE=AC,
又∵△ADC≌△FDB,
∴BF=AC,
∴,故③正确;
∵,于点D,
∴∠DBC=,
又∵BE平分,
∴∠DBE=,
∴∠DFB=,
又∵∠HDB=,
∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=+=,
∴∠DFB=∠DGF,
∴DG=DF,故②正确.
故答案为:①②③④.