题目内容

已知:Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图(1)以Rt△ABC的三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3,则:S1、S2、S3之间有什么关系?证明你的结论.
(2)如图(2),将图(1)的面积为S3的半圆沿斜边AB所在的直线翻折,翻折后的半圆恰好经过直角顶点C,若AB=5,AC=4,请你利用(1)中的结论求出图(2)中阴影部分的面积.
(1)S1=
1
2
π(
BC
2
2=
π•BC2
8

同理,S2=
π•AC2
8
,S3=
πAB2
8

∵BC2+AC2=AB2
∴S1+S2=S3

(2)S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=S△ABC
在直角△ABC中,BC=
AB2-AC2
=3,
则S阴影=S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
×4×3=6.
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