Question

【题目】如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．

（1）求证：CF∥AB；

（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）20°．

【解析】

（1）根据等边对等角得到∠ABC＝∠BAC，由三角形外角的性质得到∠ACE＝∠B+∠BAC＝2∠ABC，由角平分线的定义得到∠ACE＝2∠FCE，等量代换得到∠ABC＝∠FCE，根据平行线的判定定理即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论．

（1）证明：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB，

∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC

∵CF是∠ACE的平分线，

∴∠ACE＝2∠FCE

∴2∠ABC＝2∠FCE，

∴∠ABC＝∠FCE，

∴CF∥AB；

（2）∵CF是∠ACE的平分线，

∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADC＝2∠FDC；

∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，

∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC

∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC

∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°

∴∠DFC＝20°．