Question

如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？
（2）若图1中的阴影部分的面积是12，a-b=3，求a+b的值；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1．

Answer 1

（1）a²-b²=（a+b）（a-b）；

（2）①依题意可得：a²-b²=12
∴a²-b²=（a+b）（a-b）=12
∵a-b=3∴a+b=4；

②原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2³²-1）（2³²+1）+1
=2⁶⁴-1+1
=2⁶⁴．