Question

5．如图，∠CAB=45°，AB=3，△ABC的面积为3，E为BC上任意一点，连AE，将△ABE，△ACE分别延AB，AC翻折至△ABM，△ACN，连MN，则MN的最小值$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 过C作CD⊥AB于D，根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}=\sqrt{5}}$，当AE⊥BC时，AE最小，根据三角形的面积公式得到AE=$\frac{2{S}_{△ABC}}{BC}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，根据翻折的性质得到AM=AN=AE，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过C作CD⊥AB于D，
∵AB=3，△ABC的面积为3，
∴CD=2，
∵∠CAB=45°，
∴AD=CD=2，
∴BC=1，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}=\sqrt{5}}$，
∴当AE⊥BC时，AE最小，
∴AE=$\frac{2{S}_{△ABC}}{BC}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∵将△ABE，△ACE分别延AB，AC翻折至△ABM，△ACN，
∴AM=AN=AE，
∵∠CAB=45°，
∴∠MAN=90°，
∴MN=$\sqrt{A{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了翻折的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．